Oto częściowa odpowiedź.
Zanim te definicje zostały wprowadzone jako definicje, istniał zbiór wcześniejszych prac, w których były wygodnymi pojęciami pobocznymi do stawiania twierdzeń w szczególnych przypadkach dla podzbiorów prostej rzeczywistej , płaszczyzna, a następnie krzywa i przestrzenie funkcyjne (punkty akumulacji Cantora, zbiory pochodne i zamknięte na prostej, twierdzenia Weierstrassa, Heine-Borel, Ascoli-Arzelà, pojęcia metryczne Frecheta itp.). Pierwsze definicje aksjomatyczne pochodzą od Riesza (punkty akumulacji, 1906) i Hausdorffa (sąsiedztwa, 1914). Grundzüge der Mengenlehre Hausdorffa stał się modelem aksjomatycznej wykładni zarówno teorii mnogości, jak i topologii. Kilka szczegółów z rozdziału Kreysziga w Handbook of History of General Topology, tom 1:
" Najwcześniejszą definicję przestrzeni topologicznej podano w 1906 r. (i nieco niejasny opublikowany w 1907 r.) przez F. Riesza (1880-1956), z streszczeniem w Atti Międzynarodowego Kongresu Matematyków w Rzymie w 1908 r. (por. [49], I, 110-154, 155-161) Spośród możliwych do aksjomatyzacji pojęć (sąsiedztwo, zamknięcie, itp.) Riesz wybrał punkt akumulacji, jak to pokażą jego aksjomaty, a za Hilbertem nazwał go Verdichtungsstelle (punkt kondensacji, który jest teraz używany w innym znaczeniu).
... Nie wiadomo, dlaczego Riesz nie uznał sąsiedztwa za swoją podstawową koncepcję do aksjomatyzacji (jak w definicji przestrzeni topologicznej Hausdorffa). Być może chciał trzymaj się bliżej analizy niż geometrii. Aby w pełni to zrozumieć, należy przypomnieć, że koncepcja (ogólnego) sąsiedztwa punktu wly, nawet w samolocie, gdzie został użyty po raz pierwszy dopiero w 1902 roku, przez Hilberta w artykule na temat podstaw geometrii (Math. Ann. 56, 381-422). Okolice, również pojawiły się później w pracy Hedricka i Frecheta, wspomnianych w [63], 1020 ...
W swoim klasycznym Grundzüge der Mengenlehre [25], Hausdorff stworzył użyteczną koncepcję przestrzeni topologicznej poprzez aksjomatyzację „sąsiedztwa”. Jego dobrze znane aksjomaty obejmowały aksjomat separacji T2 (że dowolne dwa odrębne punkty mają rozłączne sąsiedztwa), dzięki czemu uzyskał przestrzeń Hausdorffa. Opracowując swoją teorię przestrzeni topologicznych i metrycznych w sposób abstrakcyjny, ale mając na uwadze użyteczność, uczynił swoją książkę punktem zwrotnym, który często był uważany za początek topologii teorii mnogości, jaką rozumiemy dzisiaj.
Następnie pojawiło się wiele alternatywnych definicji, do których odwołuje się Kelley's General Topology (Uwagi do rozdziału 1), poczynając od tomów Fundamenta Mathematica po opublikowaniu książki Hausdorffa w 1914 r. i w latach czterdziestych XX wieku. Nie jestem pewien, który z nich jest „punktem wewnętrznym”. Definicja zbioru otwartego pojawia się w Bourbaki's General Topology (1940). Nikomu za to nie przyznają, Kelley też nie, ale jest to ściśle związane z wersją sąsiedzką. Ich krótkie przypuszczenie historii pojawia się w Notach historycznych do rozdziału 1:
" Pierwsze próby abstrahowania tego, co jest wspólne dla własności zbiorów punktów i zbiorów funkcji, są zasługą Frecheta [15] i F. Riesz [16] Pierwszy z nich wyszedł od pojęcia granicy policzalnej i nie udało mu się zbudować wygodnego i owocnego systemu aksjomatów ...
Ogólną topologię w dzisiejszym rozumieniu zapoczątkował Hausdorff ([17], rozdziały 7, 8, 9), który ponownie podjął koncepcję sąsiedztwa (przez co miał na myśli to, co w terminologii tej serii tomów nazywa się „otwartym sąsiedztwo ") i wybrał z aksjomatów Hilberta dla sąsiedztw w płaszczyźnie te, które nadały jego teorii całą pożądaną precyzję i ogólność. Aksjomaty, które przyjął za punkt wyjścia, były zasadniczo (biorąc pod uwagę różnicę między jego koncepcją sąsiedztwa
i nasze) aksjomaty (V $ _ I $ ), (V $ _ {II} $ ), ( V $ _ {III} $ ), (V $ _ {IV} $ ) z § 1 i (H) z § 8 oraz rozdział, w którym rozwija konsekwencje tych aksjomatów, pozostał modelem teorii aksjomatycznej, abstrakcyjnym, ale z góry przystosowanym do zastosowań.
. .. Wreszcie, wprowadzenie filtrów przez H. Cartana [20] wprowadziło do topologii cenne narzędzie, nadające się do wszelkiego rodzaju zastosowań (w których zastępuje na korzyść pojęcie „zbieżności Moore'a-Smitha” [18]). Co więcej, rozwój twierdzenia o ultrafiltrach (Twierdzenie I, § 6) wyjaśnił i uprościł teorię. "
Cartan zasadniczo ponownie odkrył to, co zrobił Vietoris w 1913 r. -19.