Nie zgadzam się ze stwierdzeniem, że brak ścisłości matematycznej jest głównym powodem, dla którego nie należy nauczać formalizmu integralnego ścieżki w mechanice kwantowej. Zwykły fizyk zwykle nie jest zainteresowany całkowitym rygorem matematycznym, o ile pojęcia mają sens z fizycznego punktu widzenia i dają właściwe wyniki. Dobrym tego przykładem jest formalizm Diraca - zna go każdy fizyk, a każdy z podstawowym wykształceniem w zakresie analizy funkcjonalnej wie, że uzasadnienie matematyczne nie może polegać na czystej teorii przestrzeni Hilberta. Nie znam żadnego podręcznika, który choćby próbowałby sformułować formalizm Diraca w sposób rygorystyczny (poza tym zwykłym bełkotem o rozkładach widmowych w skończonych wymiarach, co oczywiście nie ma zastosowania do większości problemów w QM), ponieważ fizyka to nie obchodzi, a fizyk matematyczny nie używa staników i kaftanów. Matematyczne sformułowanie wymaga, poza teorią spektralną, również pewnych rzeczy o lokalnie wypukłych i jądrowych przestrzeniach, co jest również dość specyficzne.

Całka Feynmana jest dość intuicyjną konstrukcją z czysto fizycznego punktu widzenia, i każdy, kto bierze kurs mechaniki kwantowej, powinien mieć podstawowe wykształcenie z mechaniki analitycznej, przynajmniej tak jest w Niemczech - zwykle obejmuje Lagrange i Hamilton, czasem też trochę Hamiltona-Jacobiego. Nie sądzę, żeby to było zbyt wiele, aby zapytać studenta, który miał kurs z mechaniki. Co więcej, nie uważam również, że korzystanie z niej przez studenta nie jest zbyt trudne, dlatego należy podać umiejętności wymagane do wprowadzenia i pracy z całką ścieżki.

Z mojego punktu widzenia są trzy główne powody, dla których równanie Schrödingera jest „standardowym podejściem” do mechaniki kwantowej, a nie całką po drodze. Oczywiście są one skorelowane.

Pierwszym powodem jest oczywiście to, że zawsze tak było. Z tego powodu istnieje wiele dobrych i uznanych podręczników wykorzystujących to podejście, na których mogę oprzeć wykład. Istnieje wiele dobrych materiałów i problemów. Ponadto, w zależności od tego, w jakim obszarze będziesz pracować, podejście Schrödingera jest zwykle dobrym podejściem do pracy, dlatego nie jest przestarzałe - całki po trajektorii są używane głównie przez fizyków cząstek elementarnych, w innych obszarach Schrödinger jest zwykle bardzo przydatny .

Drugi powód jest taki, że proste problemy, które można sobie wyobrazić, są zwykle łatwiejsze do rozwiązania za pomocą równania Schrödingera, a nie wyrażenia całkowego po ścieżce. Na przykład spróbuj obliczyć oscylator harmoniczny przy użyciu całek po ścieżce. To skomplikowane, mało eleganckie i nie masz dużego fizycznego wglądu w to, co się dzieje. Atom wodoru jest jeszcze gorszy i nie chcę zaczynać od potencjałów Delta. Inną poważną wadą, która utrudnia rozwiązywanie pewnych problemów, jest to, że trudno jest zmienić reprezentację w celu obliczenia. Formalizm Feynmana dobrze radzi sobie z pewnymi problemami, które pojawiają się głównie w QFT, ale nikt przy zdrowych zmysłach nie próbowałby rozwiązać atomu wodoru za pomocą całek po trajektorii. Oczywiście na wybór tego, co nazywamy „prostymi i standardowymi problemami”, mają wpływ sposób, w jaki uczymy mechaniki kwantowej, więc ten punkt jest skorelowany z pierwszym.

Trzeci powód jest taki, że aprobata Schrödingera (moim zdaniem) ma większą wartość edukacyjną. Po pierwsze, ponieważ jest to podejście, które w zasadzie znamy już z mechaniki i elektrodynamiki: tutaj masz równanie różniczkowe, idź je rozwiązać. W mechanice to Newton / Lagrange / Hamilton, w elektrodynamice to Maxwell, aw mechanice kwantowej to równanie Schrödingera. Ponadto, podczas rozwiązywania SE, zwykle rozwiązuje się problem wartości własnej hamiltonianu, który oczywiście ma bardzo bezpośrednią i obserwowalną eksperymentalnie interpretację jako stany energetyczne odpowiedniego układu. Jądro ewolucji czasu jest raczej abstrakcyjną konstrukcją, która nie ma takiej bezpośredniej interpretacji.

Chciałbym dodać nieco bardziej techniczną odpowiedź, aby uzupełnić drugą (chociaż jest trochę za późno). Myślę, że to może być pomocne i dotyka szerszej kwestii, która jest interesująca. Jest to konflikt między historią nauczania a historią matematycznych przesłanek materiału.

Po pierwsze, przypuśćmy , że materiał tematyczny jest nauczany wcześnie, jak by to działało? Lubię następujące książki: --- korzystają z wieloletniego doświadczenia autorów w nauczaniu tego materiału.

Cartier P, DeWitt-Morette C , 2006, Integracja funkcjonalna , Cambridge University Press. (B)

DeWitt B , 2003, Global Approach to Quantum Field Theory, I, II, Oxford University Press. (C)

Wcześniej poniższy podręcznik wprowadziłby wszystkie podstawy, na przykład dla studentów, zaczynając od podstawowej wiedzy o rachunku różniczkowym.

Choquet-Bruhat Y, DeWitt-Morette C , 1982, Analysis, Manifolds, and Physics , I, Elsevier. (A)

Byłaby to samodzielna seria kursów: A, B, C, które również zawierałyby sporo innych materiałów, a więc parę wprowadzających kursów matematycznych, których treść jest omówiona w ( A) zostałby upuszczony. Tak więc w sumie potrzebny byłby tylko jeden kurs więcej. Dlaczego tak się nie dzieje?

(X) Odpowiedź jest rzeczywiście historyczna, ze względu na historycznie wymaganą matematykę dla tego przedmiotu, gdy po raz pierwszy ją opracowano, zyskując reputację „bardzo zaawansowanego materiału” z kilkoma tekstami wprowadzającymi, i ta reputacja utknęła. Nawet jeśli nie jest to już uzasadnione, wpływa na to, jak wydziały konstruują swoje programy nauczania. Matematyka jest synergistyczna. To, co kiedyś było trudne, staje się łatwiejsze, gdy odkrywane i rozwijane są inne koncepcje. Postęp w metodzie z biegiem czasu uczynił obliczenia łatwiejszymi i nie jest już czymś trudnym w zwykłych przypadkach, a wiele książek wprowadzających do materiału teraz istnieje. Jednak reputacja zmienia się wolniej niż środowisko, które je wygenerowało.

Na przykład AE powyżej wskazało, że analityczna kontynuacja nie jest nauczany na studiach licencjackich w wielu miejscach, a złożone zmienne nie są obowiązkowe. To też moje doświadczenie. Sugeruję, że przyczyną są te same okoliczności.

W przypadku rygorystycznej pracy z integracją funkcjonalną należy stosować metody dystrybucji. (Teraz wolę metody kohomologii snopów prowadzące do funkcji uogólnionych. Ale uzasadnienie i zastosowanie jest takie samo w tym przypadku.) Kwestia historyczna jest taka: teoria kategorii, snopy i funkcje uogólnione stały się szeroko znane i w pełni rozwinięte w latach siedemdziesiątych. (Po tym, jak całka Feynmana była używana przez ponad dwadzieścia lat!) Aby wiedzieć, jak wykonać obliczenia w arbitralnym przypadku, poza intuicyjną konfiguracją problemów (które zostały opracowane w latach dwudziestych i pięćdziesiątych XX wieku), potrzebne są te późniejsze metody.

Istnieje wiele podstawowych książek wprowadzających, opublikowanych w latach 90-tych XX wieku, które nie są zbyt zaawansowane dla studentów. Na przykład książka Lawvere'a, kilka książek MacLane'a itp. Zakłada, że ​​czytelnik zaczyna bez jakiejkolwiek wiedzy o nawet najbardziej elementarnych pojęciach matematycznych! A książki wprowadzające o uogólnionych funkcjach i rozkładach zaczynają się łatwo: prawostronne ograniczenia odpowiednich serii sum i iloczynów zastosowane do problemów XIX wieku, aby rozwiązać je łatwiej niż jest to tradycyjne. w rzeczywistości książki. Kupno książki nie wystarczy, aby się czegoś nauczyć. Należy to przeczytać. Często (z różnych powodów instytucjonalnych) po prostu nie ma wystarczająco dużo czasu w głównym programie nauczania, aby przedstawić cały materiał bez konieczności przeczytania przez licencjata czegoś w jakiejś książce , która nie została przedstawiona w klasie. Ale na większości uniwersytetów, na tym poziomie, używaj książek, jeśli w ogóle, głównie do zadań domowych ...: _ (W przeszłości system edukacji odchodził od obowiązkowego czytania pól STEM.

On z drugiej strony, inne metody można przedstawić bez lektury i chociaż typowy student, pochodzący z typowej szkoły średniej, potrafi czytać książki, to zwykle nie . Jeśli je kupują, dzieje się tak dlatego, że zawierają wymagane zadania domowe. Wiele kursów licencjackich w ogóle nie wymaga czytania. Podręczniki są wybierane tylko ze względu na zmieniające się zestawy zadań domowych.

Jak możesz sobie wyobrazić, i jak rzeczywiście tak jest, czegokolwiek nie można nauczać w ten sposób lub ma reputację „zaawansowanego”, nie jest obowiązkowe ani w ogóle nie jest nauczane aż do ukończenia zajęć magisterskich. Wydaje mi się, że to tylko jeden przypadek.

Spróbuję podsumować to, co zostało powiedziane w komentarzach i coś dodać. (Jestem nauczycielem matematyki, nie fizyki, ale to już blisko). Przede wszystkim nie wszyscy studenci uczą się mechaniki Lagrange'a na wczesnym etapie. Wymaga znacznie więcej wyrafinowania matematycznego niż większość studentów studiów licencjackich. (Mówię tutaj o nas).

Po drugie, samej całki Feynmana nie można nazwać w pełni uzasadnioną matematycznie. Było wiele prób ścisłego sformułowania tego, nie jestem przygotowany do analizowania tych prób i ich skuteczności, ale jedno jest jasne: to uzasadnienie wymaga znacznie bardziej zaawansowanej matematyki niż większość fizyków (nie mówiąc już o studiach licencjackich) wie. większość fizyków po prostu nie przejmuje się rygorystycznym uzasadnieniem matematycznym. Ale nauczanie to inna sprawa :-)

Po trzecie. Nie jest prawdą, że sformułowanie Schrodingera ma tylko wartość historyczną. Jest prosty i wygodny, a za nim stoi bogata i rygorystyczna teoria matematyczna. Jest szeroko stosowany przez fizyków i matematyków. (Podejście Heisenberga (mechanika macierzy) jest mniej popularne, ale nawet to ma o wiele więcej niż „znaczenie historyczne”).

Po czwarte. Edukacja jest BARDZO konserwatywna. Podam inny przykład: rachunek wielowymiarowy (twierdzenie Stokesa i jego pochodne). Współczesna ekspozycja oparta jest na formalizmie form różnicowych E. Cartana, wynalezionych na początku XX wieku, jest znacznie PROSTSZA i potężniejsza niż to, czego uczymy studentów. Wciąż prawie wszędzie (z wyjątkiem Francji) naucza się rachunku licencjackiego za pomocą XIX-wiecznego formalizmu „analizy wektorowej”. Powodem tego jest to, że nauczyciele uczą się tak, jak sami zostali nauczeni :-)

Ale w przypadku całki Feynmana myślę, że główne przyczyny to druga i trzecia.

Nawiasem mówiąc, sam Feynman w swoich Wykładach z fizyki wyjaśnia mechanikę kwantową bez jego całka. Ma jeden specjalny wykład (rodzaj dodatku) na temat zasady najmniejszego działania, ale ostrzega, że ​​jest to znacznie bardziej zaawansowana sprawa niż reszta książki :-)

P.S. Nie chcę rejestrować się w witrynie Physics, aby odpowiedzieć na pytanie, czy „Lagrangian” musi być pisany wielką literą. Ale moja opinia jest taka: istnieją reguły języka, mogą być logiczne lub nie, możemy je lubić lub nie. Ale są skodyfikowane zasady i lepiej ich przestrzegać. W języku rosyjskim wszystkie te słowa są pisane małymi literami, po niemiecku piszą riemannsche Flache, ale po angielsku: powierzchnia Riemanna. Dlatego w różnych językach różne słowa w tym samym wyrażeniu są pisane wielkimi literami.

P.P.S. Przez wiele lat szukałem w księgarniach książki Feynmana i Hibbsa, Mechaniki kwantowej i całek po ścieżce. Półki są zawsze pełne: „Żartuje pan, panie Feynman?” i takie, ale ta książka już dawno się wyczerpała ... W końcu kupiłem rosyjskie tłumaczenie w antykwariacie na Ukrainie.

W mechanice kwantowej całkę po ścieżce można przeprowadzić rygorystycznie za pomocą wzoru Feynmana-Kaca i kontynuacji analitycznej, ale podejście to nie jest bynajmniej elementarne. Jedno spojrzenie na formułę Feynmana-Kaca pokazuje, dlaczego nie jest to dobre miejsce dla uczniów, od których mogą zacząć. Co więcej, zrozumienie, skąd pochodzi, jest samo w sobie obowiązkiem. Chociaż heurystyki integralne ścieżki są intuicyjnie atrakcyjne, ich implementacja w praktyce - przy użyciu rzeczywistych obliczeń - to inna sprawa.

Chociaż całka po ścieżce jest nazywana „całką” nawet w kontekście mechaniki kwantowej, jest to coś bardziej skomplikowanego, parowanie między rozkładem a funkcją testową. Kontynuowana analitycznie formuła Feynmana-Kaca jest niepraktyczna w rzeczywistych obliczeniach, ale sprowadza się do rozwiązania problemu początkowo-brzegowego dla równania Schrödingera. Jest o wiele więcej metod, aby to zrobić, na przykład rozdzielanie zmiennych i transformata Laplace'a, i są one bardziej elementarne niż teoria miar i rozkładów w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach.

Z drugiej strony, nauczanie diagramów Feynmana wcześnie został przekonująco argumentowany przez Johna Baeza i innych, nie w kontekście QFT, ale w kontekście perturbacyjnego obliczania całek skończonych, patrz tutaj, aby zapoznać się z wykładem elementarnym.