Oryginalna motywacja i przeczucie wzoru na całkę pochodziły z prób Cauchy'ego obliczenia niewłaściwych całek rzeczywistych. Oto z A Brief History of Complex Analysis in the 19th Century:

Pierwsza praca Cauchy'ego dotycząca integracji zespolonej pojawiła się w artykule z 1814 roku dotyczącym całek oznaczonych ( niewłaściwe całki rzeczywiste), który został przedstawiony Instytutowi, ale opublikowany dopiero w 1827 r. (Bottazzini 1986, 132). W artykule Cauchy opisuje metodę przejścia od rzeczywistości do sfery urojonej, w której można z łatwością obliczyć całkę niewłaściwą. pierwsza wskazówka późniejszej słynnej formuły całkowej Cauchy'ego i równań Cauchy'ego-Riemanna. "

Pierwsze wyraźne stwierdzenie twierdzenia pochodzi z pamiętnika Cauchy'ego z 1825 r. i nie jest dokładnie poprawne:

" Jeśli $ f (x + iy) $ jest skończony i ciągły dla $ x_0 \ leq x \ leq X $ , $ y_0 \ leq y \ leq Y $ , a następnie wartość całki $ \ int_ {x_0 + iy_0} ^ {X + iY} f (z) dz $ to ind ependent postaci funkcji $ x = \ phi (t) $ i $ y = \ psi (t) $ ."

Dowód nie był rygorystyczny według współczesnych standardów, ale sugeruje dodatkową motywację, rachunek wariacji. Po problemie brachistochrony Bernoulliego, problemy wariacyjne zajmowały najlepsze umysły XVIII wieku, w tym Eulera, który również wniósł wkład w złożoną analizę. Oto z Cauchy Integral Theorem: a Histortical Development of its Proof autorstwa Scotta:

" Używając metody rachunku wariacyjnego, rozważał $ \ phi (t) + \ varepsilon u (t) $ , $ \ psi (t) + \ varepsilon v (t) $ jako alternatywną ścieżkę i pokazał, że pierwsza odmiana całki w odniesieniu do $ \ varepsilon $ znika. Zauważ, że nie wspomniano o ciągłości pochodnej $ f (z) $ ani nawet o jej istnieniu, chociaż Cauchy wykorzystał oba w swoim dowodzie. Kline [10] sugeruje, że możliwym wyjaśnieniem tego jest to, że Cauchy uważał, podobnie jak inni jego czasów, że funkcja ciągła jest zawsze różniczkowalna, a jej pochodna jest nieciągła tylko wtedy, gdy sama funkcja jest nieciągła . "

W 1846 r. Cauchy podał bardziej znany dowód twierdzenia, oparty na wzorze Greena. Nie jest jasne, czy Cauchy wiedział o pracy Greena (została opublikowana w prywatnie drukowanej książeczce w 1828 r., Ale w czasopiśmie matematycznym dopiero w 1850 r.), Czy też odkrył ją na nowo. Według Scotta „ istnieją przesłanki wskazujące na to, że wywarła na niego wpływ praca Greena, ponieważ rozszerzył swoje twierdzenie o całkach na obszary na zakrzywionych powierzchniach. ” W każdym razie sugeruje to inną motywację, pochodzącą z badania częściowych równania różniczkowe.

Obszerne ujęcie procesu myślowego Cauchy'ego to Cauchy and the Creation of Complex Function Theory by Smithies.