user4633
2016-08-31 00:17:01 UTC
Pozwólcie, że zacytuję z „Analiza 1” Terence Tao:
Histocjonalnie, uświadomienie sobie, że liczby można traktować aksjomatycznie, jest bardzo świeże, niewiele ponad sto lat.
W takim razie, jak ludzie, którzy żyli przed aksjomatyzacją liczb rzeczywistych, mogli mieć pewność, że na przykład a razy b zawsze równa się b razy a? Ponieważ wtedy mieli zbiór aksjomatów, na podstawie których mogliby coś udowodnić, a zatem nie mieli pojęcia o ścisłym dowodzie. Czy to oznacza, że właśnie zaobserwowali wzór, że jeśli wzięli dwie konkretne liczby, nie miało znaczenia, czy powiedzieli „pierwszy raz drugi” czy „drugi raz pierwszy”; iz powodu tej obserwacji założyli a * b = b * a bez dowodu?
przypuszczam, że jego obserwacja opiera się na fakcie, że pojęcie liczby zmieniło się radykalnie w XIX wieku, w jakimś Pont - nie spróbuję nawet powiedzieć, kiedy - pojęcie liczby zostało pozbawione pojęcia ilości i wielkości. wcześniej liczba była liczbą * lub * czymś. nie potrzeba czysto matematycznych aksjomatów, aby wiedzieć, że 3 krowy plus 2 świnie to to samo, co 2 świnie plus 3 krowy.
@mobil: mhm, dodawanie jest nieco prostsze niż inne operacje. W tym wątku podałem przykład przemienności mnożenia liczb rzeczywistych. Ale można też zapytać: w jaki sposób zapewnili, że a (b + c) = ab + ac bez aksjomatów?
Pytasz, skąd wiedzieli, że [wyrażenie algebraiczne] było prawdą o matematykach, którzy znacznie wyprzedzili algebrę. Przemienność jako właściwość była prawdopodobnie dorozumianym założeniem arytmetyki wywodzącej się z grupowania obiektów fizycznych (na przykład tego, w jaki sposób uczymy dzieci arytmetyki) i nie została nawet formalnie rozpoznana aż do pojawienia się algebry symbolicznej.
doskonałe pytanie i bardzo dobre ćwiczenie z myślenia historycznego. nie możemy używać myślenia aksjomatycznego do wyjaśniania ich sposobów, pod groźbą anachronizmu. więc jak myśleli? Nie jestem pewien, ale podejrzewam, że odpowiedź będzie wiązała się z pojęciami procedury, której ewidentnie brakuje w aksjomatycznych przedstawieniach. weź 2 świnie i 3 krowy; Daję ci 5 dinarów za każdą głowę: 25 dinarów. Versus: Dam ci 5 dinarów za każdą z tych 2 świń, a potem dam ci 5 dinarów za każdą z tych 3 krów. Ten sam wynik, który można zweryfikować po prostu patrząc. żadna teoria nie jest potrzebna.
tak się składa, że pierwsza książka o algebrze (autorstwa al-khwarizmi) działa w ten sposób. kluczową kwestią jest to, że równania NIE obejmują równości numerycznej; dotyczą one raczej równoważności wartości - to właśnie sprawia, że 3 krowy plus 2 świnie są wymienialne, wartość świń i coes, a nie równość liczb.
ps. jeszcze jedna rzecz. To samo dotyczy geometrii Euclid. możesz dodawać kąty do kątów i możesz dodawać długości do długości, ale nie możesz dodawać kątów do długości.
Pytamy więc: skąd mogli mieć pewność, że „obszar” ma sens? Obliczyć pole prostokąta na dwa różne sposoby, $ ab $ i $ ba $, czy możemy uzyskać różne odpowiedzi?
Jak dziś ludzie mogą mieć pewność, że $ ab = ba $ bez dowodu? Jeśli jest to aksjomat, to nie ma dowodów, a my nie jesteśmy lepsi od naszych przodków. Nie było współczesnego pojęcia liczb rzeczywistych aż do XIX wieku, czyli mniej więcej w tym samym czasie, w którym powstały pojęcia aksjomatyczne, więc kwestia jest dyskusyjna, patrz http://hsm.stackexchange.com/questions/2740/when-did -zrozumiano-że-liczby-niewymierne-mają-nie-powtarzające się-dziesiętne / 2743 # 2743 Ale nawet w przypadku dodatnich liczb całkowitych, dlaczego ludzie mieliby potrzebować „dowodów”, aby wiedzieć, jak ich używać? Nie mieli też dowodu, że woda spływa w dół.
Twoje zdziwienie nie ma sensu. Czy zastanawiasz się, w jaki sposób dzieci mogą wiedzieć, jak poprawnie mówić w języku, nie będąc w stanie wyartykułować reguł gramatycznych tego języka, lub jak Euler mógł używać rachunku różniczkowego bez definicji limitu?
[Liczenie kamyki] (https://books.google.it/books?id=2gLPbFKwY5EC&pg=PA86&lpg=PA86&dq=counting+with+pebbles&source=bl&ots=W0C1FPY7qH&sig=LPHTv9qQKmaxCg1YKPxOXtEUr9Y&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwiX-ZyH2uvOAhXJPhQKHengCHgQ6AEIPTAJ#v=onepage&q= licząc% 20with% 20pebbles & f = false) w układzie prostokątnym $ b \ razy $ kamyki.
@Gerrald Edgar: dobre pytanie. ale myślę, że układankę tworzy się traktując liczby jako abstrakcyjne byty. Podejrzewam, że w przypadku Euclid odpowiedź brzmiałaby: ab = ba, ponieważ a i b są bokami tego samego prostokąta, który nie może mieć dwóch różnych obszarów. nie były to abstrakcyjne liczby, ale wielkości * czegoś * - w przypadku boków prostokąta.
@mobileink W przypadku Euclid nie byłoby żadnych wątpliwości, ponieważ ab lub ba * to * prostokąt. Jak powiedzielibyśmy dzisiaj, włącza przemienność do swojego języka, więc ta tożsamość staje się zbyteczna. To właśnie koordynacja geometrii doprowadziła do wprowadzenia rozróżnień między figurami geometrycznie nieistniejącymi, a następnie do wprowadzenia kongruencji, aby rozróżnić te rozróżnienia.