Najstarsze „otwarte problemy” są dobrze znane, powielanie, trisekcja i kwadratura były szeroko omawiane w starożytności, przypuszcza się, że do czasów Archimedesa i Apoloniusza eksperci zdali sobie sprawę, że nie można ich rozwiązać za pomocą prostej i kompasu (jest to potwierdzone przez klasyfikację problemów przez Pappusa na płaskie, stałe i „mechaniczne”), ale nikt nie potrafił w tamtym czasie nawet sformułować dowodu niemożliwości, zobacz Wyniki niemożliwości Crippy, aby dowiedzieć się, jak powstała ta dziedzina. Innym starym problemem jest izoperymetryczny problem Dydony. Simplicius twierdzi, że koło było „znane” z tego, że zajmował największą powierzchnię wśród postaci o tym samym obwodzie „do czasów Arystotelesa”, a Archimedes i Zenodorus „to udowodnili”. Zachowane fragmenty Zenodorusa pokazują, że zajmował się tylko uproszczonym problemem wielokątów i nie jest jasne, w jaki sposób właściwość izoperymetryczna mogła zostać „udowodniona” metodami Greków.
Co do przypuszczeń, nie były one biznes, jakim są dzisiaj. Wyznanie na piśmie swojej niezdolności do udowodnienia podejrzanego twierdzenia było rzadko robione nawet w XIX wieku, a kiedy było to zwykle w formie przelotnej uwagi, a nie hipotezy (podobnie jak Riemann z zerami funkcji zeta). W XVII-XVIII wieku niektóre przypuszczenia były wyrażane w prywatnej korespondencji jako „twierdzenia”, np. Goldbach w liście do Eulera donosi więc o twierdzeniu Fermata, że 2 $ ^ {2 ^ n} + 1 $ jest zawsze liczbą pierwszą. Częściej domysły były przekazywane studentom prywatnie (w porównaniu z uwagą Arnolda w Geometrical Methods of ODE: „ niemotywowane definicje, które ukrywają podstawowe idee i metody, są jak przypowieści wyjaśniane tylko prywatnie uczniom ”) lub wywnioskowane przez innych z osobliwości tekstu publicznego.
Prototypowym przykładem jest to, że Euclid unika stosowania równoległego postulatu w Elementach tak długo, jak mógł, co zostało potraktowane jako wskazówka, aby to udowodnić. W innym przypadku Apollonius chwalił się w przedmowie do Conics: „ Zauważyłem, że Euclid nie opracował syntezy locus w odniesieniu do trzech i czterech linii, ale tylko przypadkową część to i tamto nie powiodło się: ponieważ nie było możliwe, aby synteza mogła zostać zakończona bez moich dodatkowych odkryć ".
Jeszcze wcześniejszy przykład nawiązuje Platon w Theaetetus, patrz Dowody irracjonalności Teodora McCabe'a:
" Teodor rysował dla nas kilka liczb ilustrujących korzenie, pokazując, że kwadraty zawierające trzy stopy kwadratowe i pięć stóp kwadratowych są długość niewspółmierna do jednostki stopy, więc wybierając każdą po kolei do kwadratu zawierającego siedemnaście stóp kwadratowych; i na tym się zatrzymał. "
Prawdopodobnie nie zatrzymał się, ponieważ uważał, że $ \ sqrt {19} $ jest racjonalny, ale dlatego, że jego metoda dowodzenia parzystych / nieparzystych zawiodła. Znaną teraz metodę z Elementów Euklidesa działającą na wszystkie liczby pierwsze, znalazł Theaetetus, jego uczeń, który prawdopodobnie odziedziczył problem.
Archimedes napisał słynny list do Eratostenesa, rozpoczynając od „ Wcześniej wysłałem ci kilka odkrytych przez siebie twierdzeń z prośbą o znalezienie dowodów, które tymczasowo zataiłem ”, w którym zgłosił urządzenie do generowanie przypuszczeń, jego metoda wyważania ciężarów. Wyraził nadzieję, że przy jego użyciu inni znajdą nowe twierdzenia, ale jedynymi konkretnymi wynikami, które wymienił, były te, które zostały już zganione przez Eudoxian double reductio. Zgodnie z interpretacją Toomera przedmowy do książki Dioklesa O płonących lustrach, Dositheus, przyjaciel i częsty korespondent Archimedesa, odkrył ogniskową właściwość paraboli „praktycznymi środkami”, co Diokles podejmuje się udowodnić (odkrył też spiralę, którą badał Archimedes). Ta interpretacja jest jednak kontrowersyjna, zobacz artykuł Acerbi.
Euclid nie stwierdza niczego tak odległego jak przypuszczenia o doskonałych liczbach. Nichomachus z Gerasy (ok. 100 rne), neo-pitagorejczyk, ma w swojej Arytmetyce fragment, w którym stwierdza:
" Wśród jednostek znajduje się tylko jeden, tylko jeden wśród dziesiątek, a trzecia w rankingu setek i czwarta w granicach tysięcy ... I jest to ich towarzysząca cecha, że kończą się naprzemiennie w 6 lub 8 i zawsze są równi " .
Nichomachus nie kwalifikuje ich jako przypuszczeń, ani nie podaje nawet śladu argumentów za nimi. Pierwsza miała oznaczać, że istnieje jeden doskonały w każdym rzędzie wielkości, w szczególności, że jest ich nieskończenie wiele. Al-Bagdhadi (ok. 980 ne) skomentował je w ten sposób:
Ten, kto twierdzi, że jest tylko jedna doskonała liczba w każdej potędze 10, jest w błędzie; nie ma doskonałej liczby liczba od dziesięciu do stu tysięcy. Ten, kto potwierdza, że wszystkie liczby doskonałe kończą się cyfrą 6 lub 8, ma rację ”.
„On” miałby rację tylko wtedy, gdyby nie istniały oczywiście liczby nieparzyste doskonałe. Mersenne poszedł w jego ślady w 1644 roku, publikując listę "liczb pierwszych Mersenne'a" do 257. Nie przedstawił tego również jako przypuszczenie, ale kilka było obcych, a niektórych zaginęło. Mimo to był niezwykle blisko, zobacz Jak Mersenne odkrył liczby pierwsze Mersenne'a?
Cofając się trochę, oto z artykułu Schappachera o Diophantus:
" Około 940 al-Khazin obaliło argument, który zaproponował abu-M. al-Khujandi, aby pokazać, że równanie (w naszym zapisie) $ x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 3 $ nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych dodatnich, a dyskusja ta była kontynuowana z udziałem także Abdallaha ben Alego! I to także al-Chazin, a nie Diophantus, sformułował problem, który stał się przez ostatnie 15 lat wśród arytmetyki geometrie algebraiczne ulubionym tematem wykładów dla szerszej publiczności: Problem z liczbami kongruentnymi . Zdecyduj, czy dana liczba całkowita bez kwadratu jest polem trójkąta prostokątnego o wymiernych bokach. Nadal nierozwiązany, chociaż dzisiaj bardzo prosta odpowiedź hipotetyczna ... "
Omar Khayyám, po sklasyfikowaniu wszystkich przypadków sześciennych i rozwiązaniu każdego przez przecięcie stożkowej sekcji ns, napisał w Al-jabr w'al-Muqabala:
" Kiedy jednak przedmiotem problemu jest liczba absolutna, ani my, ani żaden z tych, którzy zajmują się algebrą, nie mamy udało się rozwiązać to równanie - być może inni, którzy nas śledzą, będą w stanie wypełnić tę lukę ... "
Inni próbowali na próżno, aw 1494 r. Summa Arithmeticae Luca Pacioli posunął się nawet do stwierdzenia, że algebraicznie „ rozwiązanie sześciennego jest równie niemożliwe jak kwadratura ”. Było to 19 lat przed tym, jak Del Ferro to zrobił ... i zataił tę metodę wszystkim oprócz swojego ucznia Fiore'a, zobacz Jak historycznie wykorzystywano geometrię do rozwiązywania równań wielomianowych?