Pytanie:
Pochodzenie notacji $ \ ll $
Luke Collins
2020-02-25 07:23:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vinogradov wprowadził notację $$ f (x) \ ll g (x) $$ , aby wskazać, że dla niektórych $ C>0 $ , mamy $ | f (x) | \ leqslant C \, g (x) $ dla wszystkich $ x $ pod uwagę; zwykle dla wszystkich $ x $ większych niż ustalona stała (równoważnie $ f (x) = O (g (x)) $ ).

Zostałem również poinformowany, że jest to czasami używane w mniej formalnych ustawieniach na oznaczenie $ A $ span > to „znacznie mniej niż” $ B $ ( $ A \ ll B $ ). Moje pytanie brzmi, skąd się wziął ten zapis i w jakim celu został użyty? Czy Vinogradov go wymyślił, czy też był wcześniej używany w tym nieformalnym sensie?

Dwa odpowiedzi:
Conifold
2020-02-25 20:05:11 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vinogradov prawdopodobnie zaadaptował $ \ ll $ od Poincare i Borel, którzy użyli go w asymptotycznych seriach w latach 90. XIX wieku (Cajori cytuje Borel, * Lecons sur les series divergentes ", 1901). Fizycy używali go dla niejasnego„ znacznie mniej niż ”już w 1918 r. ( rozprawa doktorska Heurlingera Untersuchungen über die Struktur der Bandenspektra ). Nie jest jasne, czy ponownie zinterpretowali symbol Poincare, czy po prostu dostosowali to, co było dostępne typograficznie. Oto wpis na ten temat z Cajori's History of Mathematical Notations, v.II, §486:

„ Znak $ \ ll $ został wprowadzony przez H. Poincare i E. Borela w porównaniach takich serii jak: $$ u_0 + u_1z + u_2z ^ 2 + \ dots \ ll M \ left [1+ \ frac {z} {R ^ 1} + \ left (\ frac {z} {R ^ 1 } \ right) ^ 2 + \ dots \ right], $$ gdzie druga seria ma dodatnie współczynniki; moduł każdego współczynnika pierwszej serii jest mniejszy niż odpowiadający współczynnik drugiej serii. Znaki $ \ ll $ i $ \ gg $ są również używane dla „znacznie mniej niż” i „ znacznie większe niż „. Zeitschrift für Physik, tom. XIII (1923), s. 366 (znak był używany przez H. A. Kramersa i W. Pauliego); Torsten Heurlinger, Untersuchungen über die Struktur der Bandenspectra (Lund, 1918), s. 39 ".

Artykuł Kramers-Pauli to Zur Theorie der Bandenspektren, używa go oczywiście bez komentarza ani wyjaśnienia. Heurlinger jest nie cytowane, ale biorąc pod uwagę wspólny temat, mogli odziedziczyć symbol poprzez pośredników.

Wygląda więc na to, że $ \ ll $ było początkowo używane w sensie asymptotycznym
@LukeCollins To było. Chciałoby się spekulować, że zostało przeniesione przez analogię nieokreślonego do podstawy 10, a potęgi do rzędów wielkości (jak to miało miejsce w innych kontekstach), ale nie znam żadnych dowodów na poparcie tego tutaj.
Cytowany odsyłacz do Borela wprowadza oznaczenie na str. 142. Przypis mówi: „Znak $ \ ll $, wprowadzony przez M. Poincaré ... Zobacz Poincaré, _Les methods nouvelles de la Mécanique Céleste_, t. I.”
Patrz Poincaré, [_The new methods of Celestial Mechanics_, tom 1] (http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/chp/hp-pdf/hp1892mna.pdf), str. 48.
kimchi lover
2020-02-29 03:50:49 UTC
view on stackexchange narkive permalink

A Bourbaki "Note Historique" doprowadził mnie do tego: Du Bois-Reymond, P. Sur la grandeurrelative des infinis des fonctions. Annali di Matematica 4, 338–353 (1870), dostępne za paywallem, używa notacji $$ f (x) \ succ \ phi (x), \ qquad f (x) \ sim \ phi (x), \ qquad f (x) \ prec \ phi (x) $$ oznacza $$ \ lim \ frac {f (x)} {\ phi (x)} = \ infty, \ qquad \ lim \ frac {f (x)} {\ phi (x)} \ text {jest skończone }, \ qquad \ lim \ frac {f (x)} {\ phi (x)} = 0. $$

Krótkie spojrzenie na około 1880 artykułów Poincare, Borel i Stieltjes (znaleziony w małym Asymptotic Expansions Edelyi) nie pokazał żadnej wersji znaku $ \ ll $ .



ⓘ
To pytanie i odpowiedź zostało automatycznie przetłumaczone z języka angielskiego.Oryginalna treść jest dostępna na stackexchange, za co dziękujemy za licencję cc by-sa 4.0, w ramach której jest rozpowszechniana.
Loading...