Obawiam się, że odpowiedź będzie rozczarowująca, ale typowe, „naturalne” i „sztuczne” to pojęcia bardzo względne. „Odkrycie” właściwości ognisko-kierownica było prawdopodobnie technicznym lematem w badaniach stałych loci, który później został również wykorzystany w badaniu zakrzywionych zwierciadeł. Kiedy się wydawało, Grecy niewiele z niego robili, jego współczesne znaczenie w teorii przekrojów stożkowych jest późnym artefaktem.
Najwcześniejszym istniejącym źródłem, jakie mamy, jest „On Burning Mirrors” Dioklesa. Pracuje on nad wcześniejszymi pracami Euclida nad zwierciadłami sferycznymi. Chodziło oczywiście o znalezienie kształtu, który zbierałby promienie słoneczne (zakładając, że byłyby równoległe) w jednym punkcie, ognisku. Jak zauważył Knorr, zredukowanie właściwości ogniskowania promienia do właściwości ogniska-kierownica, aby „odkryć”, że posiada parabolę, wymagałoby czegoś w rodzaju rozwiązania równania różniczkowego, które wykraczało poza możliwości Greków. Następnie spekulował, że ktoś (być może przyjaciel Archimedesa, Dositheus) dokonał „szczęśliwego przypuszczenia”, a następnie pokazał, że krzywa skonstruowana przez właściwość ognisko-kierownica jest parabolą (podobną demonstrację elipsy opisuje Anthemius). Acerbi sugeruje inną rekonstrukcję w The Geometry of Burning Mirrors in Greek Antiquity, gdzie można znaleźć geometryczne szczegóły tego, w jaki sposób nieruchomość powstała jako lemat:
" Ogniskowe właściwości paraboli uzyskano jako produkt uboczny próby udowodnienia, że właściwość subtangensa jest sumptomą krzywej . O znaczeniu tej właściwości w oczach starożytnych geometrów nie trzeba wydawać tylu słów. Przypomnij sobie, że Archimedes dobrze znał właściwość subtangensa ... W konsekwencji właściwość ogniskowa okazuje się kluczowa dla zastosowania subtangenta jako metody skonstruować parabolę o zadanym wierzchołku i parametrze (por. Konst. I.52, co jednak nie prowadzi bezpośrednio do konstrukcji punktowej) i daje możliwość rozwiązania przez redukcję konkretnego przypadku problemu śledzenia sekcja stożkowa po tym, jak niektóre jej styczne są znane.
" [Założenie] jest takie, że właściwość tak ważna (dla nas), jak kierownica ogniska, nie może być zredukowany do statusu zwykłej funkcjonalności do punktowego określenia paraboli , jak bezsprzecznie ma to miejsce w Podejście Dioklesa i jak sam Knorr musi rozpoznać ... Po tej własności nie ma śladu w Conica Apoloniusza , ponieważ istnieją teraz (przypomnijmy, że odnosi się ona tylko do osi, i dlatego nie jest to sumptoma, który można odnieść do dowolnej średnicy).
" Toomer przypuszczał, że sam Diokles był odkrywcą własności w przypadku paraboli, jej słuszność rozciągnięty po nim na inne sekcje stożkowe. Te kilka lematów, które podaje Pappus, na samym końcu VII księgi jego Collectio ... jest jedynym poświadczeniem w starożytnym korpusie faktu, że właściwość focus-directrix jest sumptoma kilku sekcji stożkowych (sformułowanie jako locus potwierdza to dokładnie).
Zeuthen (1886, s. 210–215 i 367–371) zauważa, że jeśli Pappus musiałby jasno sformułować taki lemat, to –Directrix należało przyjąć za pewnik w Loci on a Surface. Uwaga Zeuthena może zostać uzupełniona
przez przypuszczenie, że najbardziej „naturalnym” miejscem, w którym nieruchomość została ustalona, oczywiście w powyższej formie sumptomy sformułowanej jako ograniczenie identyfikujące miejsce, jest Solid Loci Aristaeusa ... Podsumowując, jeśli jeden nie chce zapuszczać się w puste przypuszczenia, to minimalna hipoteza jest taka, że właściwość została wykorzystana w Loci na powierzchni jako etap pośredni w analizie jakiegoś miejsca, ale została po prostu uznana za sumptoma przekroju stożkowego ”.