Mam wrażenie, że Leibnitz zwykle oferuje kilka rozwiązań, które są alternatywami i nie są spójne. (Nic dziwnego, ponieważ większość artykułów to jego notatki, napisane „na biurko”, nieprzeznaczone przez niego do publikacji).

Wallis w swojej książce o integracji, która jest wcześniejsza niż Newton i Leibnitz, wykorzystuje koncepcję prawostronnego ograniczenia ilości, która dochodzi do zera. Więc jest arbitralnie mały, ale nigdy nie jest zerowy.

Leibnitz w opublikowanym krótkim artykule na temat tego, czym są nieskończenie małe, konstruuje je w podobny (ale nie zawsze taki sam) sposób. Być może można to uznać za jego „oficjalną” opinię, skoro ją opublikował. (Ale traktuje je niespójnie w całej swojej pracy.)

Zasadniczo konstruuje trójkąt prostokątny we współrzędnych kartezjańskich i przecina go z geodezyjną w dwóch miejscach. Przesuwa geodezyjnie w sposób ciągły w kierunku wierzchołka trójkąta, tworząc w ten sposób kolejny trójkąt, którego boki stają się krótsze i zbiegają się do zera (jeśli geodezyjny dotyka wierzchołka). Ale definiuje ułamek, w którym liczby są długością boków tak skonstruowanego trójkąta.

W tym przypadku: mianownik nie może wynosić zero, jeśli układ ma być spójny, więc ruch geodezyjny jest ograniczony, ponieważ nie może dotykać wierzchołka. Mówi, że wszystko, co można zbudować za pomocą takiego ruchu, jest nieskończenie małe.

Definiuje każdą nieskończenie małą jako ułamek skonstruowany przez taki ruch. Zarówno mianownik, jak i licznik stają się mniejsze w miarę zbliżania się wartości geodezyjnej, ale nigdy nie stają się zerowe. A ponieważ kąt geodezyjny, w którym przecina każdy bok trójkąta, zasadniczo NIE jest taki sam, boki skonstruowanego trójkąta NIE są, z wyjątkiem specjalnego przypadku konstrukcji, równe.

Oczywiście nie wszystkie nieskończenie małe są identyczne. Nieskończenie mały dla niego zatem, jeśli chodzi o jego publikację, odnosi się do każdej wielkości zawsze malejącej, tak jak Hinchin w podręczniku rachunku różniczkowego z lat 50. przedstawił tę sprawę. Być nieskończenie małym, jeśli chodzi o Leibnitza, to być konstruowane w określony sposób przez pewną serię zmian w innej funkcji, ale nie mówi nic o samej wielkości. (Hinchin kiwa głową z aprobatą.)

Jednak w jego dyskusji na temat modelowania jakości według ilości, poprzez ciągłość, nieskończenie małe są arbitralnie małymi wielkościami, które ostatecznie stają się zerowe, po czym jedna jakość przekształca się w inną.

Proponuję potraktować jego opinię na temat ontologii nieskończenie małych jako nie różniącą się zasadniczo od opinii Wallisa (granica zmiennej wielkości, idącej do zera, z prawej strony), która przypuszczalnie ją zainspirowała i opiera się na słusznej ręczne granice funkcji, które zmniejszają się wraz ze wzrostem ich wkładu. Po prostu nie jest konsekwentny we wszystkich swoich artykułach.

EDYCJA:

Przeglądam jedno z moich archiwów, próbując znaleźć moje tłumaczenie ważnych fragmentów Arithmetica Infinitorum Wallisa . Z pamięci Wallis napisał w jednym miejscu odpowiednik

$ \ underset {x \ rightarrow 0 +} {\ lim} x $

jako to, co miał na myśli przez nieskończenie małe, we współczesnym notacja. To jest grubość linii na jego diagramach. Podsumowując nieskończoność takich linii potrzebnych do wypełnienia rycin, dała obszary figur. Ale, według Beeleya, w swoich późniejszych komunikatach do Leibniza pisze, że linie - mają dosłownie zerową grubość, zdecydował. Leibniz nie zgadza się. Własna idea Leibniza w notacji współczesnej jest bliższa pierwszemu stwierdzeniu Wallisa, a dokładniej powyższej koncepcji. Gdzie $ x $ jest wprowadzane do funkcji (nieskończenie małe), takiej jak $ dx = \ frac {f (x)} {g (x)} \ rightarrow 0 + $ tam, gdzie $ x \ rightarrow 0 + $.

Popularna interpretacja nieskończenie małych znajduje się w ramach „niestandardowej analizy”. Daje całkowicie rygorystyczne uzasadnienie.

Nie czytałem Ishiguro, więc podam tylko moje wrażenia z historii z kilku innych źródeł wtórnych:

Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, https://archive.org/details/TheHistoryOfTheCalculusAndItsConceptualDevelopment

Blaszczyk, Katz i Sherry, Ten Misconceptions from the History of Analysis and Their Debunking, http: // arxiv. org / abs / 1202.4153

Odpowiednia część Boyera to str. 210-212. W relacji Boyera Leibniz jest różdżką, który nie jest do końca pewien, jak interpretować własne dx. Czasami interpretuje je w sposób, który sprawia, że ​​brzmią jak nowoczesne formy różnicowe, ale różne trudności zawsze prowadzą go z powrotem do mówienia o nich jako o nieskończenie małych. Nie jestem pewien, jak bardzo ufam interpretacji Boyera, ponieważ pisał on przed NSA, a jego opis historii rachunku różniczkowego jest historią, w której złe, złe nieskończenie małe są wypierane przez dobre, uczciwe granice.

Błędne przekonanie Błaszczyka (a właściwie pytanie) nr 10 brzmi: „Czy istnieje ciągłość między Leibnizem i Robinsonem?” Wydaje mi się, że przesuwa się to trochę za daleko w przeciwnym kierunku i sprawia, że ​​Leibniz jest zbyt przewidujący. Jednak robią kilka bardzo interesujących uwag na temat bliskich analogii między Leibnizem i NSA.

Moje podejście do całej sprawy jest takie, że stosunek Leibniza do jego nieskończenie małych i ich zrozumienie było prawdopodobnie analogiczne do związku Euklidesa z równoległym postulatem . Prawdopodobnie był to niełatwy związek, a ostateczne wyjaśnienie nastąpiło dopiero po stuleciach.