Uważam za niesamowite, że konstrukcja geometryczna, która leży u podstaw prawa grupowego dla krzywych eliptycznych, prowadzi do powstania prawa grupowego.
P: Kto jako pierwszy zidentyfikował prawo grupowe dla krzywych eliptycznych, a jeśli jest inne, kto pierwszy udowodnił, że jest ono asocjacyjne?
W XVII wieku Bachet i Fermat podali algebraiczne wzory na podwojenie punktu na sześciennym, a Newton pokazał, jak to zrobić, używając akordów i stycznych. Ale to jest o tyle, o ile geometria rozwijała się sama, stamtąd ścieżka nie prowadziła od geometrii do prawa grupowego, ale w drugą stronę.
W 1834 roku Jacobi wskazał na możliwy związek między krzywymi sześciennymi a funkcje eliptyczne, co Eisenstein udowodnił w 1847 r. Clebsch ukonkretnił je w 1864 r., sugerując parametryzację krzywych sześciennych za pomocą funkcji eliptycznych (stąd pochodzi określenie „krzywa eliptyczna”). Weierstrass wyraźnie powiązał swój wzór na dodawanie funkcji eliptycznych z dodawaniem punktów na krzywych sześciennych, a geometria została zbadana przez Juela w 1890 roku. Artykuł Poincare'a z 1901 roku Sur les Proprietes Arithmetiques des Courbes Algebriques jest uważany za pierwszą systematyzację tematu, w której dodawanie akordowo-styczne (w tym punkt w nieskończoności jako tożsamość) jest po raz pierwszy wykazane jako prawo grupowe rygorystycznie według nowoczesnych standardów , w tym asocjatywność.
Zobacz Dlaczego elipsy nie są krzywymi eliptycznymi według Rice'a i Browna, Krzywe eliptyczne od Mordell do Diophantus iz powrotem autorstwa Browna oraz Historia krzywe eliptyczne wątek na Math SE.